3.192 \(\int \coth ^2(x) (a+b \text{sech}^2(x))^{3/2} \, dx\)

Optimal. Leaf size=81 \[ a^{3/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a} \tanh (x)}{\sqrt{a-b \tanh ^2(x)+b}}\right )-b^{3/2} \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \tanh (x)}{\sqrt{a-b \tanh ^2(x)+b}}\right )-(a+b) \coth (x) \sqrt{a-b \tanh ^2(x)+b} \]

[Out]

-(b^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2]]) + a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Tanh[x])/Sqrt[a + b
- b*Tanh[x]^2]] - (a + b)*Coth[x]*Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2]

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.232478, antiderivative size = 81, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 8, number of rules used = 8, integrand size = 17, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.471, Rules used = {4141, 1975, 474, 523, 217, 203, 377, 206} \[ a^{3/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a} \tanh (x)}{\sqrt{a-b \tanh ^2(x)+b}}\right )-b^{3/2} \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \tanh (x)}{\sqrt{a-b \tanh ^2(x)+b}}\right )-(a+b) \coth (x) \sqrt{a-b \tanh ^2(x)+b} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Coth[x]^2*(a + b*Sech[x]^2)^(3/2),x]

[Out]

-(b^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2]]) + a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Tanh[x])/Sqrt[a + b
- b*Tanh[x]^2]] - (a + b)*Coth[x]*Sqrt[a + b - b*Tanh[x]^2]

Rule 4141

Int[((a_) + (b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_))^(p_.)*((d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> With[
{ff = FreeFactors[Tan[e + f*x], x]}, Dist[ff/f, Subst[Int[((d*ff*x)^m*(a + b*(1 + ff^2*x^2)^(n/2))^p)/(1 + ff^
2*x^2), x], x, Tan[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, p}, x] && IntegerQ[n/2] && (IntegerQ[m/2] ||
EqQ[n, 2])

Rule 1975

Int[(u_)^(p_.)*(v_)^(q_.)*((e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[(e*x)^m*ExpandToSum[u, x]^p*ExpandToSum[v, x]^q
, x] /; FreeQ[{e, m, p, q}, x] && BinomialQ[{u, v}, x] && EqQ[BinomialDegree[u, x] - BinomialDegree[v, x], 0]
&&  !BinomialMatchQ[{u, v}, x]

Rule 474

Int[((e_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[(c*(e*x)^
(m + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^(q - 1))/(a*e*(m + 1)), x] - Dist[1/(a*e^n*(m + 1)), Int[(e*x)^(m + n)
*(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^(q - 2)*Simp[c*(c*b - a*d)*(m + 1) + c*n*(b*c*(p + 1) + a*d*(q - 1)) + d*((c*b - a*
d)*(m + 1) + c*b*n*(p + q))*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[n, 0]
&& GtQ[q, 1] && LtQ[m, -1] && IntBinomialQ[a, b, c, d, e, m, n, p, q, x]

Rule 523

Int[((e_) + (f_.)*(x_)^(n_))/(((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^(n_)]), x_Symbol] :> Dist[f/b, I
nt[1/Sqrt[c + d*x^n], x], x] + Dist[(b*e - a*f)/b, Int[1/((a + b*x^n)*Sqrt[c + d*x^n]), x], x] /; FreeQ[{a, b,
c, d, e, f, n}, x]

Rule 217

Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Subst[Int[1/(1 - b*x^2), x], x, x/Sqrt[a + b*x^2]] /; FreeQ[{a,
b}, x] &&  !GtQ[a, 0]

Rule 203

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTan[(Rt[b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[b, 2]), x] /;
FreeQ[{a, b}, x] && PosQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || GtQ[b, 0])

Rule 377

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)/((c_) + (d_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Subst[Int[1/(c - (b*c - a*d)*x^n), x]
, x, x/(a + b*x^n)^(1/n)] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[n*p + 1, 0] && IntegerQ[n]

Rule 206

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTanh[(Rt[-b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[-b, 2]), x]
/; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

Rubi steps

\begin{align*} \int \coth ^2(x) \left (a+b \text{sech}^2(x)\right )^{3/2} \, dx &=\operatorname{Subst}\left (\int \frac{\left (a+b \left (1-x^2\right )\right )^{3/2}}{x^2 \left (1-x^2\right )} \, dx,x,\tanh (x)\right )\\ &=\operatorname{Subst}\left (\int \frac{\left (a+b-b x^2\right )^{3/2}}{x^2 \left (1-x^2\right )} \, dx,x,\tanh (x)\right )\\ &=-(a+b) \coth (x) \sqrt{a+b-b \tanh ^2(x)}+\operatorname{Subst}\left (\int \frac{a^2-b^2+b^2 x^2}{\left (1-x^2\right ) \sqrt{a+b-b x^2}} \, dx,x,\tanh (x)\right )\\ &=-(a+b) \coth (x) \sqrt{a+b-b \tanh ^2(x)}+a^2 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{\left (1-x^2\right ) \sqrt{a+b-b x^2}} \, dx,x,\tanh (x)\right )-b^2 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{\sqrt{a+b-b x^2}} \, dx,x,\tanh (x)\right )\\ &=-(a+b) \coth (x) \sqrt{a+b-b \tanh ^2(x)}+a^2 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{1-a x^2} \, dx,x,\frac{\tanh (x)}{\sqrt{a+b-b \tanh ^2(x)}}\right )-b^2 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{1+b x^2} \, dx,x,\frac{\tanh (x)}{\sqrt{a+b-b \tanh ^2(x)}}\right )\\ &=-b^{3/2} \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \tanh (x)}{\sqrt{a+b-b \tanh ^2(x)}}\right )+a^{3/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a} \tanh (x)}{\sqrt{a+b-b \tanh ^2(x)}}\right )-(a+b) \coth (x) \sqrt{a+b-b \tanh ^2(x)}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 0.3267, size = 144, normalized size = 1.78 \[ -\frac{2 \left (a \cosh ^2(x)+b\right ) \sqrt{a+b \text{sech}^2(x)} \left (-\sqrt{2} a^{3/2} \cosh (x) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{2} \sqrt{a} \sinh (x)}{\sqrt{a \cosh (2 x)+a+2 b}}\right )+\sqrt{2} b^{3/2} \cosh (x) \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{2} \sqrt{b} \sinh (x)}{\sqrt{a \cosh (2 x)+a+2 b}}\right )+(a+b) \coth (x) \sqrt{a \cosh (2 x)+a+2 b}\right )}{(a \cosh (2 x)+a+2 b)^{3/2}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[Coth[x]^2*(a + b*Sech[x]^2)^(3/2),x]

[Out]

(-2*(b + a*Cosh[x]^2)*(Sqrt[2]*b^(3/2)*ArcTan[(Sqrt[2]*Sqrt[b]*Sinh[x])/Sqrt[a + 2*b + a*Cosh[2*x]]]*Cosh[x] -
Sqrt[2]*a^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[a]*Sinh[x])/Sqrt[a + 2*b + a*Cosh[2*x]]]*Cosh[x] + (a + b)*Sqrt[a + 2*b
+ a*Cosh[2*x]]*Coth[x])*Sqrt[a + b*Sech[x]^2])/(a + 2*b + a*Cosh[2*x])^(3/2)

________________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.102, size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \left ({\rm coth} \left (x\right ) \right ) ^{2} \left ( a+b \left ({\rm sech} \left (x\right ) \right ) ^{2} \right ) ^{{\frac{3}{2}}}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(coth(x)^2*(a+b*sech(x)^2)^(3/2),x)

[Out]

int(coth(x)^2*(a+b*sech(x)^2)^(3/2),x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\left (b \operatorname{sech}\left (x\right )^{2} + a\right )}^{\frac{3}{2}} \coth \left (x\right )^{2}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(coth(x)^2*(a+b*sech(x)^2)^(3/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((b*sech(x)^2 + a)^(3/2)*coth(x)^2, x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 3.45242, size = 10029, normalized size = 123.81 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(coth(x)^2*(a+b*sech(x)^2)^(3/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/4*((a*cosh(x)^2 + 2*a*cosh(x)*sinh(x) + a*sinh(x)^2 - a)*sqrt(a)*log((a*b^2*cosh(x)^8 + 8*a*b^2*cosh(x)*sin
h(x)^7 + a*b^2*sinh(x)^8 - 2*(a*b^2 - b^3)*cosh(x)^6 + 2*(14*a*b^2*cosh(x)^2 - a*b^2 + b^3)*sinh(x)^6 + 4*(14*
a*b^2*cosh(x)^3 - 3*(a*b^2 - b^3)*cosh(x))*sinh(x)^5 + (a^3 + 4*a^2*b + 9*a*b^2)*cosh(x)^4 + (70*a*b^2*cosh(x)
^4 + a^3 + 4*a^2*b + 9*a*b^2 - 30*(a*b^2 - b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 + 4*(14*a*b^2*cosh(x)^5 - 10*(a*b^2 - b^3
)*cosh(x)^3 + (a^3 + 4*a^2*b + 9*a*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 + a^3 + 2*(a^3 + 3*a^2*b)*cosh(x)^2 + 2*(14*a*b^2*c
osh(x)^6 - 15*(a*b^2 - b^3)*cosh(x)^4 + a^3 + 3*a^2*b + 3*(a^3 + 4*a^2*b + 9*a*b^2)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + sqr
t(2)*(b^2*cosh(x)^6 + 6*b^2*cosh(x)*sinh(x)^5 + b^2*sinh(x)^6 - 3*b^2*cosh(x)^4 + 3*(5*b^2*cosh(x)^2 - b^2)*si
nh(x)^4 + 4*(5*b^2*cosh(x)^3 - 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^3 - (a^2 + 4*a*b)*cosh(x)^2 + (15*b^2*cosh(x)^4 - 18*b^2
*cosh(x)^2 - a^2 - 4*a*b)*sinh(x)^2 - a^2 + 2*(3*b^2*cosh(x)^5 - 6*b^2*cosh(x)^3 - (a^2 + 4*a*b)*cosh(x))*sinh
(x))*sqrt(a)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*(2*a*
b^2*cosh(x)^7 - 3*(a*b^2 - b^3)*cosh(x)^5 + (a^3 + 4*a^2*b + 9*a*b^2)*cosh(x)^3 + (a^3 + 3*a^2*b)*cosh(x))*sin
h(x))/(cosh(x)^6 + 6*cosh(x)^5*sinh(x) + 15*cosh(x)^4*sinh(x)^2 + 20*cosh(x)^3*sinh(x)^3 + 15*cosh(x)^2*sinh(x
)^4 + 6*cosh(x)*sinh(x)^5 + sinh(x)^6)) + 2*(b*cosh(x)^2 + 2*b*cosh(x)*sinh(x) + b*sinh(x)^2 - b)*sqrt(-b)*log
(-((a - b)*cosh(x)^4 + 4*(a - b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a - b)*sinh(x)^4 + 2*(a + 3*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a - b)*
cosh(x)^2 + a + 3*b)*sinh(x)^2 + 2*sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt(-b)*sqrt((a*co
sh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*((a - b)*cosh(x)^3 + (a + 3*
b)*cosh(x))*sinh(x) + a - b)/(cosh(x)^4 + 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4 + 2*(3*cosh(x)^2 + 1)*sinh(x)^2 + 2*
cosh(x)^2 + 4*(cosh(x)^3 + cosh(x))*sinh(x) + 1)) + (a*cosh(x)^2 + 2*a*cosh(x)*sinh(x) + a*sinh(x)^2 - a)*sqrt
(a)*log(-(a*cosh(x)^4 + 4*a*cosh(x)*sinh(x)^3 + a*sinh(x)^4 + 2*(a + b)*cosh(x)^2 + 2*(3*a*cosh(x)^2 + a + b)*
sinh(x)^2 + sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 + 1)*sqrt(a)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 +
a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*(a*cosh(x)^3 + (a + b)*cosh(x))*sinh(x) + a)/(cosh(x
)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) - 4*sqrt(2)*(a + b)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^
2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)))/(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1), -1/4*(4*(b*cosh(x)^2 + 2
*b*cosh(x)*sinh(x) + b*sinh(x)^2 - b)*sqrt(b)*arctan(sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*s
qrt(b)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/(a*cosh(x)^4 +
4*a*cosh(x)*sinh(x)^3 + a*sinh(x)^4 + 2*(a + 2*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*a*cosh(x)^2 + a + 2*b)*sinh(x)^2 + 4*(a*cos
h(x)^3 + (a + 2*b)*cosh(x))*sinh(x) + a)) - (a*cosh(x)^2 + 2*a*cosh(x)*sinh(x) + a*sinh(x)^2 - a)*sqrt(a)*log(
(a*b^2*cosh(x)^8 + 8*a*b^2*cosh(x)*sinh(x)^7 + a*b^2*sinh(x)^8 - 2*(a*b^2 - b^3)*cosh(x)^6 + 2*(14*a*b^2*cosh(
x)^2 - a*b^2 + b^3)*sinh(x)^6 + 4*(14*a*b^2*cosh(x)^3 - 3*(a*b^2 - b^3)*cosh(x))*sinh(x)^5 + (a^3 + 4*a^2*b +
9*a*b^2)*cosh(x)^4 + (70*a*b^2*cosh(x)^4 + a^3 + 4*a^2*b + 9*a*b^2 - 30*(a*b^2 - b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 + 4
*(14*a*b^2*cosh(x)^5 - 10*(a*b^2 - b^3)*cosh(x)^3 + (a^3 + 4*a^2*b + 9*a*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 + a^3 + 2*(a^
3 + 3*a^2*b)*cosh(x)^2 + 2*(14*a*b^2*cosh(x)^6 - 15*(a*b^2 - b^3)*cosh(x)^4 + a^3 + 3*a^2*b + 3*(a^3 + 4*a^2*b
+ 9*a*b^2)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*(b^2*cosh(x)^6 + 6*b^2*cosh(x)*sinh(x)^5 + b^2*sinh(x)^6 - 3*b^2*co
sh(x)^4 + 3*(5*b^2*cosh(x)^2 - b^2)*sinh(x)^4 + 4*(5*b^2*cosh(x)^3 - 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^3 - (a^2 + 4*a*b)*
cosh(x)^2 + (15*b^2*cosh(x)^4 - 18*b^2*cosh(x)^2 - a^2 - 4*a*b)*sinh(x)^2 - a^2 + 2*(3*b^2*cosh(x)^5 - 6*b^2*c
osh(x)^3 - (a^2 + 4*a*b)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*c
osh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*(2*a*b^2*cosh(x)^7 - 3*(a*b^2 - b^3)*cosh(x)^5 + (a^3 + 4*a^2*b + 9*a*b^2)*co
sh(x)^3 + (a^3 + 3*a^2*b)*cosh(x))*sinh(x))/(cosh(x)^6 + 6*cosh(x)^5*sinh(x) + 15*cosh(x)^4*sinh(x)^2 + 20*cos
h(x)^3*sinh(x)^3 + 15*cosh(x)^2*sinh(x)^4 + 6*cosh(x)*sinh(x)^5 + sinh(x)^6)) - (a*cosh(x)^2 + 2*a*cosh(x)*sin
h(x) + a*sinh(x)^2 - a)*sqrt(a)*log(-(a*cosh(x)^4 + 4*a*cosh(x)*sinh(x)^3 + a*sinh(x)^4 + 2*(a + b)*cosh(x)^2
+ 2*(3*a*cosh(x)^2 + a + b)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 + 1)*sqrt(a)*sqrt((
a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*(a*cosh(x)^3 + (a + b)*c
osh(x))*sinh(x) + a)/(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*sqrt(2)*(a + b)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*si
nh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)))/(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 -
1), -1/2*((a*cosh(x)^2 + 2*a*cosh(x)*sinh(x) + a*sinh(x)^2 - a)*sqrt(-a)*arctan(sqrt(2)*(b*cosh(x)^2 + 2*b*cos
h(x)*sinh(x) + b*sinh(x)^2 + a)*sqrt(-a)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sin
h(x) + sinh(x)^2))/(a*b*cosh(x)^4 + 4*a*b*cosh(x)*sinh(x)^3 + a*b*sinh(x)^4 - (a^2 + 3*a*b)*cosh(x)^2 + (6*a*b
*cosh(x)^2 - a^2 - 3*a*b)*sinh(x)^2 - a^2 + 2*(2*a*b*cosh(x)^3 - (a^2 + 3*a*b)*cosh(x))*sinh(x))) + (a*cosh(x)
^2 + 2*a*cosh(x)*sinh(x) + a*sinh(x)^2 - a)*sqrt(-a)*arctan(sqrt(2)*sqrt(-a)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 +
a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/(a*cosh(x)^2 + 2*a*cosh(x)*sinh(x) + a*sinh(x)^2 + a))
- (b*cosh(x)^2 + 2*b*cosh(x)*sinh(x) + b*sinh(x)^2 - b)*sqrt(-b)*log(-((a - b)*cosh(x)^4 + 4*(a - b)*cosh(x)*s
inh(x)^3 + (a - b)*sinh(x)^4 + 2*(a + 3*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a - b)*cosh(x)^2 + a + 3*b)*sinh(x)^2 + 2*sqrt(2)
*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt(-b)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^
2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*((a - b)*cosh(x)^3 + (a + 3*b)*cosh(x))*sinh(x) + a - b)/(cosh(x)^4 +
4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4 + 2*(3*cosh(x)^2 + 1)*sinh(x)^2 + 2*cosh(x)^2 + 4*(cosh(x)^3 + cosh(x))*sinh(x
) + 1)) + 2*sqrt(2)*(a + b)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x
)^2)))/(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1), -1/2*((a*cosh(x)^2 + 2*a*cosh(x)*sinh(x) + a*sinh(x)^2
- a)*sqrt(-a)*arctan(sqrt(2)*(b*cosh(x)^2 + 2*b*cosh(x)*sinh(x) + b*sinh(x)^2 + a)*sqrt(-a)*sqrt((a*cosh(x)^2
+ a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/(a*b*cosh(x)^4 + 4*a*b*cosh(x)*sinh(x)^
3 + a*b*sinh(x)^4 - (a^2 + 3*a*b)*cosh(x)^2 + (6*a*b*cosh(x)^2 - a^2 - 3*a*b)*sinh(x)^2 - a^2 + 2*(2*a*b*cosh(
x)^3 - (a^2 + 3*a*b)*cosh(x))*sinh(x))) + 2*(b*cosh(x)^2 + 2*b*cosh(x)*sinh(x) + b*sinh(x)^2 - b)*sqrt(b)*arct
an(sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt(b)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/
(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/(a*cosh(x)^4 + 4*a*cosh(x)*sinh(x)^3 + a*sinh(x)^4 + 2*(a + 2*b)*
cosh(x)^2 + 2*(3*a*cosh(x)^2 + a + 2*b)*sinh(x)^2 + 4*(a*cosh(x)^3 + (a + 2*b)*cosh(x))*sinh(x) + a)) + (a*cos
h(x)^2 + 2*a*cosh(x)*sinh(x) + a*sinh(x)^2 - a)*sqrt(-a)*arctan(sqrt(2)*sqrt(-a)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)
^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/(a*cosh(x)^2 + 2*a*cosh(x)*sinh(x) + a*sinh(x)^2 +
a)) + 2*sqrt(2)*(a + b)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)
))/(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(coth(x)**2*(a+b*sech(x)**2)**(3/2),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\left (b \operatorname{sech}\left (x\right )^{2} + a\right )}^{\frac{3}{2}} \coth \left (x\right )^{2}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(coth(x)^2*(a+b*sech(x)^2)^(3/2),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((b*sech(x)^2 + a)^(3/2)*coth(x)^2, x)